检测系统的动态特性的数学模型主要有三种形式：时域分析用的微分方程；频域分析用的频率特性；复频域用的传递函数。测量系统动态特性由其本身各个环节的物理特性决定，因此如果知道上述三种数学模型中的任一种，都可推导出另外两种形式的数学模型。
1．微分方程
对于线性时不变的测量系统来说，表征其动态特性的常系数线性微分方程式为
（1）
式中，Y（t）为输出量或响应；X（t）为输入量或激励；
为与测量系统结构的物理参数有关的系数；
为输出量Y对时间t的n阶导数；
为输入量X对时间t的m阶导数。
由式（1）可以求出在某一输入量作用下测量系统的动态特性。但是对一个复杂的测量系统和复杂的被测信号，求该方程的通解和特解颇为困难，往往采用传递函数和频率响应函数更为方便。
2．传递函数
若测量系统的初始条件为零，则把测量系统输出（响应函数）Y（t）的拉氏变换Y（s）与测量系统输入（激励函数）X（t）的拉氏变换X（s）之比称为测量系统的传递函数H（s）。
假定在初始t=0时，满足输出Y（t）=0和输入X（t）=0，以及它们对时间的各阶导数的初始值均为零的初始条件，这时Y（t）和X（t）的拉氏变换Y（s）和x（s）计算公式为
（2）
满足上述初始条件时，对（1）式两边取拉氏变换，就得测量系统的传递函数
（3）
上式分母中s的*高指数n即代表微分方程的阶数，相应地当n=1，n=2则称为一阶系统传递函数和二阶系统传递函数。由式（3）可得：
Y（s）=H（s）·X（s） （4）
知道测量系统传递函数和输入函数即可得到输出（测量结果）函数Y（s），然后利用拉氏反变换，求出Y（s）的原函数，即瞬态输出响应为
y（t）=L-1[Y（s）] （5）
传递函数具有以下特点：
（1）传递函数是测量系统本身各环节固有特性的反映，它不受输入信号影响，但包含瞬态、稳态时间和频率响应的全部信息
（2）传递函数H（s）是通过把实际测量系统抽象成数学模型后经过拉氏变换得到的，它只反映测量系统的响应特性。
（3）同一传递函数可能表征多个响应特性相似，但具体物理结构和形式却完全不同的设备，例如一个RC滤波电路与有阻尼弹簧的响应特性就类似，它们同为一阶系统。
3．频率（响应）特性
在初始状态为零的条件下，把测量系统的输出Y（t）的傅里叶变换Y （jω）与输入X（t）的傅里叶变换X （jω）之比称为测量系统的频率响应特性，简称频率特性。通常用H（jω）来表示。
对稳定的常系数线性测量系统，可取s=jω，即令其实部为零，这样式（2）就变为
（6）
根据式（6）或直接由式（3）转换得到测量系统的频率特性n（jω）
（7）
从物理意义上说，通过傅里叶变换可将满足一定初始条件的任意信号分解成一系列不同频率的正弦信号之和（叠加），从而将信号由时域变换至频率域来分析。因此频率响应函数是在频率域中反映测量系统对正弦输入信号的稳态响应，也被称为正弦传递函数。
传递函数表达式（3）和频率特性表达式（6）形式相似，但前者是测量系统输出与输入信号的拉氏变换式之比，其输入并不限于正弦信号，所反映的系统特性不仅有稳态也包含瞬态；后者仅反映测量系统对正弦输入信号的稳态响应。
对线性测量系统其稳态响应（输出）是与输入（激励）同频率的正弦信号。对同一正弦输入，不同测量系统稳态响应的频率虽相同，但幅度和相位角通常不同。同一测量系统当输入正弦信号的频率改变时，系统输出与输入正弦信号幅值之比随（输入信号）频率变化关系称为测量系统的幅频特性，通常用A（ω）表示；系统输出与输入正弦信号相位差随（输入信号）频率变化的关系称为测量系统的相频特性，通常用ф（ω）表示。幅频特性和相频特性合起来统称为测量系统的频率（响应）特性。根据得到的频率特性可以方便地在频率域直观、形象和定量地分析研究测量系统的动态特性。
在工业生产领域中周期性现象十分普遍，如各种周而复始的旋转运动、往复运动，各种传感器和测量电路变换后的周期性脉冲等。周期性过程重复出现一次所需要的时间称为周期，用符号T（单位是s）表示。单位时间内周期性过程重复出现的次数称为频率，记为f（单位是Hz）。周期与频率互为倒数关系
目前频率测量技术已能达到很高的**度，因此在检测技术中，常将一些非电量或其他电参量转换成频率进行测量，以提高测量的精度。 频率测量方法可分为计数法和模拟法两类。计数法测量精度高、操作简便，可直接显示数字，便于与微机结合实现测量过程自动化，应用*为广泛；模拟法因为简单经济，在有些场合仍有应用。 1．频率（周期）的数字测量 （1）计数法测量原理 计数法就是在一定的时间间隔T内，对周期性脉冲的重复次数进行计数。 若周期性脉冲的周期为n，则计数结果为
计数法原理如图1（a）所示，周期为TA的脉冲①加到闸门的输入端，宽度为T的门控信号②加到闸门的控制端控制闸门的开、闭时间，只有在闸门开通时间T内闸门才输出计数脉冲③到十进制计数器进行计数。在闸门打开前计数器先清零，闸门关闭时，计数器的计数值N由T和TA决定。如果T和TA一个为已知标准量，另一个为待测量，则从计数值，N和已知标准量便可求得未知待测量。
图1 计数法测量原理 由于T和TA两个量是不相关的，T不一定正好是TA的整数N倍，即T与NTA之间有一定误差，如图1（b）所示。图中△t1是闸门开启时刻至第一个计数脉冲前沿的时间（假设计数脉冲前沿使计数器翻转计数），△t2是闸门关闭时刻至下一个计数脉冲前沿的时间。处在T区间内的计数脉冲个数（即计数器计数结果）为N，则
式中
显然，0≤△t1≤TA，0≤△t2≤TA。若△t1=△t2，则△N=0；若△t1=TA，△t2=0，则△N=1；若△t1=0，△t2=TA，则△N=-1，因此脉冲计数的*大**误差（又称量化误差）为 △N=±1 （5） 脉冲计数*大相对误差为
（2）通用计数器的基本组成和工作方式 电子计数器一般都具有测量频率（测频）和测量周期（测周）等两种以上的测量功能，故统称通用计数器。通用计数器的基本组成如图2所示。
图2 通用计数器的基本组成 图2中整形器是将频率为fA（或fB）的正弦信号整形为周期为TA=1/fA（或TB=1/fB）的脉冲信号。门控电路是将周期为mTB（fB经m分频）的脉冲变为闸门时间为T=mTB的门控信号，将T=mTB代入式（2）可得图2中十进制计数器的计数结果为
由上式可见，图2中计数结果N与A、B两输入端所加的信号频率的比值fA/fB成正比，因此图2所示计数器可用于频率比的测量，即工作在频率比测量方式。 若将被测信号fx接到图2中A输入端（fA=fx），晶振标准频率fC信号接到B输入端（即fB=fC）则称计数器工作在测频方式，此时式（7）变为
若将被测信号fx接到图2中B输入端（即fB=fx），晶振标准频率fC信号接到A输入端（即fA=fC），则称计数器工作在测周方式，此时，式（7）变为
（3）频率（周期）的测量误差与测量范围 由式（1）可见，周期与频率互为倒数，只要测出其中一个就可求得另一个，因此，从理论上讲测量频率与测量周期是等效的，但是从实际测量效果来看，图2所示通用计数器工作在测频方式和工作在测周方式，无论测量误差还是测量范围都不一样。 ①测频方式 由式（9）可得“测频”的相对误差为
式中，△fC/fC称为标准频率的准确度。将式（8）代入上式可得测频的*大相对误差为
由上式可见，被测频率fx越高，分频系数m越大，测频的相对误差△fx/fx优越小，即测频的精度越高。 若采用K位十进制计数器，则*大允许计数值为
为使计数结果不超过计数器*大允许计数值而发生溢出，要求N=
若该计数器的计数脉冲频率*大允许值为fmax，则还要求
为满足测量精度
一般晶振的精度很高，
因此可得“测频”范围为
由上式可见，测频方式所能测量的*低频率受测量精度要求值 ②测周方式 由式（11）可得测周的相对误差为
将式（10）代入得测周的*大相对误差为
因t=1/fx，△Tx／Tx=－△fx／fx，故由上式可得测周法测频的*大相对误差为
由上式可见，被测频率fx越低，分频系数m越大，测周的相对误差△Tx／Tx越小，即测周的精度越高；同样，fx越低，m越大，用测周法测频的相对误差△fx／fx越小，测频的精度也越高。 对比式（12）和式（20）可见，直接测频与测周法测频的相对误差是不一样的。若被测频率较高，则直接测频的相对误差较小；若被测频率较低，则用测周法测频的相对误差较小。令式（12）与式（20）相等，可求得测频与测周相对误差都一样的中界频率f0为 f0=fC （21） 因此，从提高测量精度考虑，当被测频率fx高于中界频率即晶振标准频率fC时，应采用直接测频法测量频率，当被测频率fx低于中界频率即晶振标准频率fC时应采用测周法测量频率。 测周法的周期测量范围，同样也受到测量精度要求值
故Tx的测量范围为
若取fC=fmax，并考虑到
图2中分频系数m一般取10的整数次幂且分挡可选，即 m=10n（n=0，1，2，3，…） （24） 代入式（9）和式（11）得
由式（25）和式（26）可见，改变n只是改变fx和Tx的指示数字的小数点位置。例如N=100，fC=1 MHz（TC=1μs），若取n=2，则fx=1 MHz，Tx=1μs。若取n=3，则fx=0.1 MHz，Tx=0.1μs。 2．频率的模拟测量 简要介绍几种频率的模拟测量方法： （1）直读法测频 ①电桥法测频 电桥法测频是利用交流电桥的平衡条件和电桥电源频率有关这一特性来测频的，在电桥面板上将调节电桥平衡的可变电阻（或电容）的调节旋钮（度盘）按频率刻度，则在电桥指示平衡时，测试者便可从刻度上直接读得被测信号频率fx。 这种电桥测频的精度约为±（0.5～1）％。在高频时，由于寄生参数影响严重，会使测量精度大大下降，所以这种电桥测频法仅适用于10 kHz以下的音频范围。 ②谐振法测频 谐振法利用电感、电容串联谐振回路或并联谐振回路的谐振特性来实现测频。当被测频率加到变压器式的谐振电路中时，调节电容使谐振电路达到揩振。如果电容的调节度盘按谐振频率刻度，则可直接从该刻度读出被测频率值。 谐振法测量频率的精度大约在±（0.25～1）％范围内，常作为频率粗测或某些仪器的附属测频部件。 ③频率-电压（f-U）转换法测频 这种测频方法的原理是利用相关电路把正弦频率fx转换为周期相等、宽度τ、幅度Um均为定值的矩形脉冲列，用低通滤波器滤除其全部交流分量，则平均值即直流分量为
输出的直流电压用依照式（27）按频率刻度的电压表指示，则从电压表指针所指刻度便可直接读出被测频率fx。F-U转换式频率计*高测量频率可达几兆赫。可以连续监视频率的变化是这种测量法的突出优点。 （2）比较法测频 比较法测频就是用标准频率fC与被测频率fx进行比较，当把标准频率调节到与被测频率相等时指零仪表（零示器）便指零，此时的标准频率值即为被测频率值。比较法测频可分为拍频法测频与差频法测频两种。前者是将待测频率信号与标准频率信号在线性元件上叠加产生拍频。后者是将待测频率信号与标准频率信号在非线性元件上进行混频。目前拍频法测量频率的**误差约为零点几赫兹，差频法测量频率的误差可优于10-5量级，*低可测的信号电平达0.1 μV-1 μV。拍频法和差频法在常规场合很少采用。 （3）示波器测量频率 用示波器测量频率有两种方法：一种是将被测信号加到示波器的Y通道，在荧光屏上测量被测信号的周期。另一种是将被测信号和标准频率信号分别加到示波器的x通道和Y通道，观测荧光屏上显示的李沙育图形。 |
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
≤Nmax即
（14）
（15）
，要求
≤
（16）
故上式简化为
（17）
（18）
（19）
（20）
（22）
（23）
（25）
（26）
（27）